Parcial 3

Tablas de frecuencias con datos agrupados

Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para así realizar un mejor análisis e interpretación de ellos. 

• Para construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, conociendo los intervalos, se debe determinar la frecuencia absoluta (fi) correspondiente a cada intervalo, contando la cantidad de datos cuyo valor está entre los extremos del intervalo. Luego se calculan las frecuencias relativas y acumuladas, si es pertinente.

• Si no se conocen los intervalos, se pueden determinar de la siguiente manera: (recuerda que los intervalos de clase se emplean si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua).

- Se busca el valor máximo de la variable y el valor mínimo. Con estos datos se  determina el rango. 

 - Se divide el rango en la cantidad de intervalos que se desea tener,(por lo general se determinan 5 intervalos de lo contrario es ideal que sea un número impar por ejemplo 5, 7, 9)  obteniéndose así la amplitud o tamaño  de cada intervalo. 

 - Comenzando por el mínimo valor de la variable, que será el extremo inferior del primer intervalo, se suma a este valor la amplitud para obtener el extremo superior  y así sucesivamente.

• Otra forma de calcular la cantidad de intervalos es aplicando los siguientes metodos:

Método Sturges:  k =  1 +  3,332 log n  

donde:

k= número de clases

n= tamaño muestral

Debemos tener en cuenta 2 cosas. Primero que el número de intervalos me tiene que dar impar, segundo que el resultado se redondea generalmente a la baja. Si al redondear a la baja nos da como resultado un número par debemos redondear al alza. Este es el método que tiene mayor precisión.

Método Empírico: este método depende del criterio del evaluador de los datos, por lo tanto es arbitrario. Dice lo siguiente.

         5 ≥ k  ≥ 20

Veamos como se resuelve el siguiente ejercicio del libro Santillana 8:

En un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas que entraban entre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

- Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en ocho intervalos.

1°Para poder construir la tabla de frecuencias lo primero que debemos hacer es calcular el rango.

El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

El dato mayor y el menor lo hemos destacado con color rojo:

Dato mayor - dato menor =  73 - 1 =  72

Por lo tanto; Rango = 72

2° En el problema nos dicen que debemos agruparlo en 8 intervalos o clases, con este dato podemos calcular la amplitud o tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener (en este caso son 8).

Amplitud: La amplitud de un intervalo es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior. La amplitud(A) de los intervalos puede calcularse mediante la expresión:

Por lo tanto la amplitud de cada intervalo será de 9

- El valor de la amplitud se redondea al número inmediato superior de acuerdo a la cantidad de decimales que tienen los datos o según la precisión con que se desea trabajar.

- Puede haber intervalos con distinta amplitud.

- Puede haber intervalos con amplitud indefinida (intervalos abiertos)

Media aritmética para datos agrupados 

Se calcula sumando todos los productos de marca clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número total de datos:

La marca clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promedio de los extremos de cada intervalo.

Moda

Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. En tablas de frecuencias con datos agrupados, hablaremos de intervalo modal. 

La moda se representa por  Mo.

2.1- Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

L_i Extremo inferior del intervalo modal  (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta).

f_i  Frecuencia absoluta del intervalo modal.

f_i-1  Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.

f_i+1  Frecuencia absoluta del intervalo posterior al modal.

t_i  Amplitud de los intervalos.

2.2 Si los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

h_i= f_i/ t_i

Donde:

hi: altura correspondiente a cada intervalo.

fi: Frecuencia absoluta del intervalo (también se puede utilizar la frecuencia acumulada o relativa)

ti: Amplitud de los intervalos

Luego la clase modal es la que tiene mayor altura.

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. 

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2

Luego calculamos según la siguiente fórmula:

L_i-1  es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N / 2  es la semisuma de las frecuencias absolutas.

F_i-1  es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

fi  es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.

t_i  es la amplitud de los intervalos.